Matematika: Pomer

Pomer je jedným zo základných matematických pojmov, ktorý sa často používa na porovnanie dvoch alebo viacerých množstiev. Ide o vzťah medzi dvoma číslami, ktorý nám hovorí, koľkokrát jedno množstvo obsahuje druhé, alebo ako sa tieto dve množstvá k sebe vzťahujú.

Základné pojmy a definície

1. Čo je to pomer?

Pomer je vyjadrenie vzťahu medzi dvoma alebo viacerými hodnotami. Vyjadruje, koľkokrát je jedno číslo väčšie alebo menšie v porovnaní s iným číslom. Pomer môže byť vyjadrený rôznymi spôsobmi, napríklad:

  • Pomocou dvojbodky: ( a : b )
  • Ako zlomok: ( \frac{a}{b} )
  • V slovnej podobe: „a k b“

2. Príklady pomeru:

  • Ak máte dve jabĺčka a tri pomaranče, pomer jabĺk k pomarančom je ( 2 : 3 ).
  • Ak na ceste prejde 6 červených áut a 4 modré autá, pomer červených áut k modrým autám je ( 6 : 4 ) alebo po zjednodušení ( 3 : 2 ).

Pomer nám teda umožňuje porovnávať rôzne množstvá a ukazuje vzťah medzi týmito množstvami.

3. Zjednodušovanie pomeru:

Pomer môžeme zjednodušiť, ak sú obe čísla deliteľné rovnakým číslom. Napríklad:

  • Pomer ( 6 : 4 ) môžeme zjednodušiť na ( 3 : 2 ), pretože 6 a 4 sú obe deliteľné číslom 2.

Podobne ako pri zlomkoch, zjednodušujeme pomer deliteľom spoločným pre obe čísla.

4. Priama úmera a pomer:

Pomer sa často používa v súvislosti s priamou úmerou. Priama úmera znamená, že ak jedno množstvo rastie, druhé množstvo tiež rastie rovnakou mierou. Pomer medzi týmito dvoma množstvami zostáva konštantný.

Príklad: Ak potrebujeme na jednu koláčovú formu 200 gramov múky a 100 gramov cukru, pomer múky k cukru je ( 200 : 100 ), čo je ( 2 : 1 ). Ak robíme dve formy koláča, potrebujeme 400 gramov múky a 200 gramov cukru – pomer zostáva rovnaký, ( 2 : 1 ).

5. Inverzná úmera a pomer:

Inverzná úmera sa vyskytuje, keď jedno množstvo rastie, ale druhé klesá. Napríklad ak máte určitú vzdialenosť, ktorú cestujete, čím rýchlejšie cestujete, tým menej času vám to zaberie. Pomer času a rýchlosti je nepriamo úmerný.

Výpočet s pomerom

1. Nájdite neznámu hodnotu v pomere:

Často sa stretneme so situáciami, kde musíme vypočítať neznámu hodnotu v pomere. Na to použijeme pravidlo trojčlenky.

Príklad: Máme pomer ( 4 : 6 ). Ak vieme, že prvá hodnota je 8, aká je druhá hodnota?

Riešenie: Vieme, že pomer je ( 4 : 6 ), teda prepočítame:
( \frac{4}{6} = \frac{8}{x} )

Teda:
( 4x = 6 \times 8 )
( 4x = 48 )
( x = 12 )

Druhá hodnota v pomere je teda 12.

2. Zmena pomeru:

Niekedy môžeme potrebovať zmeniť hodnoty v pomere. Napríklad ak chceme zvýšiť jednu z hodnôt v pomere, musíme zabezpečiť, aby nový pomer bol rovnako platný.

Príklad: Ak máme pomer ( 3 : 5 ) a chceme zvýšiť prvú hodnotu na 6, aká bude druhá hodnota?

Riešenie:
V prvom kroku musíme porovnať zvýšenú hodnotu s pôvodnou hodnotou:
( \frac{6}{3} = 2 )

Teda zvýšili sme hodnotu dvakrát. Teraz musíme rovnako zvýšiť druhú hodnotu:
( 5 \times 2 = 10 )

Nový pomer bude ( 6 : 10 ).

Praktické použitie pomeru

Pomer má široké využitie v každodennom živote aj vo vede a technike.

  • V kuchyni: Pri varení alebo pečení často pracujeme s pomermi, keď musíme miešať ingrediencie v určitých množstvách. Napríklad, ak recept hovorí, že na každých 100 g múky potrebujeme 50 g cukru, tento vzťah môžeme vyjadriť ako pomer ( 100 : 50 ), čo je ( 2 : 1 ).
  • V mape: Pomer sa používa aj pri mapách, kde je mierka mapy uvedená ako pomer. Napríklad, ak mierka mapy je ( 1 : 100000 ), znamená to, že 1 cm na mape zodpovedá 100 000 cm v skutočnosti.
  • V stavebníctve: Pomer sa využíva aj pri miešaní materiálov. Napríklad pri príprave betónu sa môže používať pomer cementu, piesku a vody.

Pomer v percentách

Pomer môžeme tiež vyjadriť v percentách. Percentá sú špeciálny druh pomeru, ktorý vyjadruje vzťah medzi číslami ako časť z 100. Ak máme pomer ( 3 : 4 ), môžeme ho premeniť na percentá tak, že prepočítame každú časť tak, aby celkový súčet bol 100 %.

Príklad:
Pomer ( 3 : 4 ) znamená, že z celku 7 častí (3 + 4 = 7) sú 3 časti jedného množstva a 4 časti druhého množstva. Aby sme vyjadrili tento pomer v percentách, prepočítame každú časť na percentá:

  • ( \frac{3}{7} \times 100 = 42,86 \% )
  • ( \frac{4}{7} \times 100 = 57,14 \% )

Teda pomer ( 3 : 4 ) zodpovedá 42,86 % k 57,14 %.

Zložité pomery

Niekedy sa môžeme stretnúť s pomermi, ktoré zahŕňajú viac ako dve hodnoty. Napríklad:

  • Pomery medzi troma hodnotami môžu byť ( 2 : 3 : 5 ), čo znamená, že prvá hodnota je 2-krát väčšia ako nejaká jednotka, druhá hodnota je 3-krát väčšia a tretia hodnota je 5-krát väčšia.

Tieto pomery môžeme tiež zjednodušiť, podobne ako pri jednoduchých pomeroch.

Cvičenia

Cvičenie 1: Zjednodušte nasledujúce pomery.

  1. ( 12 : 8 )
  2. ( 15 : 25 )
  3. ( 36 : 48 )
  4. ( 9 : 18 )
  5. ( 20 : 30 )

Cvičenie 2: Doplňte neznámu hodnotu v nasledujúcich pomeroch.

  1. ( 4 : 5 = 12 : ? )
  2. ( 6 : 9 = ? : 18 )
  3. ( 7 : 10 = ? : 20 )
  4. ( 3 : 8 = 9 : ? )
  5. ( 5 : 6 = 15 : ? )

Cvičenie 3: Nájdite pomer medzi nasledovnými množstvami.

  1. 8 jabĺk a 12 pomarančov
  2. 5 litrov vody a 20 litrov mlieka
  3. 30 minút a 2 hodiny
  4. 9 detí a 3 učitelia
  5. 25 cm a 1 meter

Cvičenie 4: Vypočítajte pomer v percentách.

  1. Pomer (

2 : 3 )

  1. Pomer ( 5 : 7 )
  2. Pomer ( 8 : 12 )
  3. Pomer ( 1 : 4 )
  4. Pomer ( 3 : 5 )

Odpovede na cvičenia

Cvičenie 1:

  1. ( 12 : 8 = 3 : 2 )
  2. ( 15 : 25 = 3 : 5 )
  3. ( 36 : 48 = 3 : 4 )
  4. ( 9 : 18 = 1 : 2 )
  5. ( 20 : 30 = 2 : 3 )

Cvičenie 2:

  1. ( 4 : 5 = 12 : 15 )
  2. ( 6 : 9 = 12 : 18 )
  3. ( 7 : 10 = 14 : 20 )
  4. ( 3 : 8 = 9 : 24 )
  5. ( 5 : 6 = 15 : 18 )

Cvičenie 3:

  1. Pomer: ( 8 : 12 = 2 : 3 )
  2. Pomer: ( 5 : 20 = 1 : 4 )
  3. Pomer: ( 30 : 120 = 1 : 4 )
  4. Pomer: ( 9 : 3 = 3 : 1 )
  5. Pomer: ( 25 : 100 = 1 : 4 )

Cvičenie 4:

  1. ( 2 : 3 ) = 40 % k 60 %
  2. ( 5 : 7 ) = 41,67 % k 58,33 %
  3. ( 8 : 12 ) = 40 % k 60 %
  4. ( 1 : 4 ) = 20 % k 80 %
  5. ( 3 : 5 ) = 37,5 % k 62,5 %