Matematika: Priama úmera

Priama úmera je matematický vzťah medzi dvoma veličinami, ktorý vyjadruje, že ak jedna veličina rastie, druhá veličina rastie rovnakým tempom. Tento vzťah znamená, že ich pomer zostáva konštantný. Priama úmera sa v praxi využíva v mnohých oblastiach, od fyziky cez ekonomiku až po každodenný život.

Základné pojmy a definície

1. Čo je to priama úmera?

Priama úmera (alebo priamo úmerný vzťah) nastáva vtedy, keď sa dve veličiny menia v rovnakom pomere. To znamená, že keď sa jedna veličina zväčšuje, druhá sa zväčšuje rovnakou mierou, a naopak, keď sa jedna zmenšuje, druhá sa zmenšuje rovnakým spôsobom.

Matematicky sa priama úmera vyjadruje vzťahom:
[ y = k \cdot x ]
kde:

  • ( y ) je výsledná veličina,
  • ( x ) je vstupná veličina,
  • ( k ) je konštanta (koeficient priamej úmernosti), ktorá vyjadruje pomer medzi ( y ) a ( x ).

Príklad: Ak chceme zistiť, koľko zaplatíme za určitý počet jabĺk, cena bude priamo úmerná počtu jabĺk. Ak jedno jablko stojí 2 eurá, tak za 3 jablká zaplatíme 6 eur (pomer 1:2 sa zachováva).

2. Príklady priamej úmery:

  • Pohonné hmoty: Ak auto spotrebuje 6 litrov benzínu na 100 km, množstvo spotrebovaného benzínu bude priamo úmerné prejdenej vzdialenosti. Čím dlhšiu vzdialenosť prejdete, tým viac benzínu spotrebujete.
  • Platy a odpracované hodiny: Ak zamestnanec dostáva 10 eur na hodinu, jeho celková mzda bude priamo úmerná počtu odpracovaných hodín. Ak pracuje 8 hodín, dostane 80 eur, ak pracuje 4 hodiny, dostane 40 eur.
  • Ceny a hmotnosť: Ak stojí 1 kilogram zemiakov 1 euro, cena za 5 kilogramov zemiakov bude 5 eur, pretože hmotnosť a cena sú priamo úmerné.

Graf priamej úmery

Graf priamej úmery je vždy priamka, ktorá prechádza počiatkom (0, 0), pretože ak je vstupná veličina nulová, výsledná veličina je tiež nulová. Sklon tejto priamky závisí od hodnoty koeficientu priamej úmernosti ( k ). Čím je ( k ) väčšie, tým strmší je sklon priamky.

Vzťah priamej úmery

Priama úmera medzi dvoma veličinami znamená, že pomer medzi nimi zostáva rovnaký. Tento pomer je vyjadrený konštantou ( k ).

Príklad:
Ak je pomer medzi počtom jabĺk a cenou jabĺk ( 2:4 ) (2 jablká stoja 4 eurá), tento pomer zostáva konštantný aj pri väčšom množstve jabĺk. To znamená, že 4 jablká budú stáť 8 eur, 6 jabĺk bude stáť 12 eur atď.

Výpočet priamej úmery

Ak máme daný priamo úmerný vzťah a poznáme jednu z veličín, môžeme ľahko vypočítať druhú veličinu pomocou vzorca:
[ y = k \cdot x ]
kde ( k ) je konštanta, ktorá určuje, ako veľmi sa ( y ) mení v závislosti od ( x ).

Príklad:
Ak vieme, že jeden kilogram jabĺk stojí 2 eurá a chceme zistiť, koľko zaplatíme za 7 kilogramov, použijeme vzorec:


Teda za 7 kilogramov zaplatíme 14 eur.

Zistenie koeficientu priamej úmery

Ak nepoznáme hodnotu koeficientu ( k ), môžeme ho vypočítať z dvoch známych veličín. Pomer medzi dvoma hodnotami v priamej úmere bude vždy konštantný, teda:

Príklad:
Ak vieme, že za 3 kilogramy jabĺk sme zaplatili 6 eur, môžeme vypočítať koeficient ( k ):

To znamená, že cena za 1 kilogram jabĺk je 2 eurá.

Priama úmera v praxi

Priamu úmeru používame v každodennom živote veľmi často, napríklad pri:

  • Nakupovaní (cena závisí od množstva),
  • Cestovaní (spotreba pohonných hmôt závisí od vzdialenosti),
  • Výrobe (množstvo potrebného materiálu závisí od počtu výrobkov),
  • Stavebníctve (množstvo stavebného materiálu závisí od veľkosti stavby).

Cvičenia

Cvičenie 1: Určte koeficient priamej úmery pre nasledujúce situácie:

  1. Auto spotrebuje 8 litrov benzínu na 100 kilometrov. Koľko benzínu spotrebuje na 250 kilometrov?
  2. Zamestnanec dostáva 9 eur za hodinu práce. Koľko zarobí za 7 hodín?
  3. Za 4 kilogramy jabĺk zaplatíte 12 eur. Koľko zaplatíte za 9 kilogramov?
  4. Na stavbu sa spotrebuje 15 tehál na 1 meter múru. Koľko tehál bude potrebných na 8 metrov múru?

Cvičenie 2: Doplňte chýbajúce hodnoty v priamo úmerných vzťahoch:

  1. ( x = 5 ), ( y = 10 ); ( x = 8 ), ( y = ? )
  2. ( x = 2 ), ( y = 7 ); ( x = 6 ), ( y = ? )
  3. ( x = 3 ), ( y = 15 ); ( x = 9 ), ( y = ? )
  4. ( x = 4 ), ( y = 20 ); ( x = 10 ), ( y = ? )

Cvičenie 3: Určte hodnotu veličiny ( y ) pri nasledujúcich priamych úmerách:

  1. ( k = 5 ), ( x = 7 ), ( y = ? )
  2. ( k = 3 ), ( x = 12 ), ( y = ? )
  3. ( k = 4 ), ( x = 9 ), ( y = ? )
  4. ( k = 7 ), ( x = 15 ), ( y = ? )